LUẬN VĂN Phân tích tương tác đa trường bằng hiệu ứng tinh thể áp điện dùng cho cảm biến

 Chương 1 TỔNG QUAN

 1.1. Vật liệu áp điện

Áp điện được phát hiện vào năm 1880 bởi Jacques và Pierre Curie khi nghiên cứu cách tạo ra áp lực điện tích trong tinh thể ( chẳng hạn như thạch anh và tourmaline ) . Sử dụng trong tàu ngầm sonar trong Chiến tranh thế giới thứ nhất tạo ra lợi ích phát triển mạnh trong các thiết bị áp điện. Hiệu ứng áp điện trực tiếp bao gồm các khả năng của vật liệu tinh thể nhất định (ví dụ như gốm sứ ) để tạo ra một điện tích trong tỷ lệ của một lực lượng áp dụng bên ngoài . Hiệu ứng áp điện trực tiếp đã được sử dụng rộng rãi trong thiết kế bộ chuyển đổi ( gia tốc, lực lượng và áp suất đầu dò , ) . Theo hiệu ứng áp điện nghịch đảo, một điện trường gây ra một biến dạng của vật liệu áp điện . Hiệu ứng áp điện ngược đã được áp dụng trong các bộ dẫn thiết kế (tức là động cơ áp điện ) . Việc sử dụng các vật liệu áp điện như thiết bị truyền động và cảm biến cho tiếng ồn và rung động kiểm soát đã được chứng minh rộng rãi trong vài năm qua (ví dụ như Forward, 1981; Crawley & de Luis , 1987). Có nói chung hai loại vật liệu áp điện được sử dụng trong kiểm soát độ rung : gốm sứ và polyme . Các piezoceramic được biết đến như là chì zirconate titanate ( PZT ) , nó có một dòng phục hồi 0,1% và được sử dụng rộng rãi như là thiết bị truyền động và cảm biến cho một loạt các tần số , bao gồm cả các ứng dụng siêu âm và rất thích hợp cho độ chính xác cao là tốt. Piezopolymers chủ yếu được sử dụng như cảm biến và được biết đến như các Polyvinylidene Fluoride (PVDF) . Các PVDF lần đầu tiên được nghiên cứu bởi Kawai (cuối những năm 60 ) và đã được thực hiện thương mại có sẵn trong đầu những năm 80.

Hiệu ứng áp điện là hiệu ứng chuyển đổi qua lại giữa năng lượng điện và năng lượng cơ học. Vật liệu áp điện là loại vật liêu có khả năng tạo ra hiệu ứng áp điện, là những vật liệu thông minh được sử dụng ngày càng rộng rãi. Chúng thường được tích hợp trong các cấu trúc để tạo ra một lớp các loại cấu trúc có tính  chất thông minh, có tính thích nghi. Chúng có phạm vi áp dụng lớn trong kỹ thuật với chi phí thấp, trọng lượng nhẹ, độ bền cao và dễ tạo hình hay dán hoặc nhúng vào trong các cấu trúc. Loại vật liệu này tạo ra điện tích dưới tác dụng cơ học hay biến dạng lớn và ngược lại, khi đặt vào chúng một điện thế thì sẽ sinh ra ứng suất hoặc biến dạng cơ học. Vì thế, chúng có thể được dùng làm cảm biến (cảm biến áp điện) (Hình 1.1) hoặc cơ cấu phát động (động cơ áp điện) (Hình 1.2).

            Việc sử dụng vật liệu áp điện làm thiết bị truyền động và bộ cảm biến để kiểm soát tiếng ồn và rung động đã được phát triển rộng rãi trong nhiều năm qua (ví dụ như Forward, 1981; Crawley & de Luis, 1987). Có hai loại vật liệu áp điện được sử dụng trong kiểm soát độ rung: gốm áp điện và polymer áp điện. Gốm áp điện được biết đến nhiều nhất là PZT (Lead Zirconate Titanate), nó có khả năng cảm nhận biến dạng đến 0,1% và được sử dụng như thiết bị truyền động và cảm biến cho một loạt các tần số, bao gồm cả các ứng dụng siêu âm, nó rất thích hợp cho các phép đo cần độ chính xác cao. Polymer áp điện chủ yếu được sử dụng như cảm biến, tiêu biểu là PVDF (Polyvinylidene Fluoride). Các PVDF lần đầu tiên được nghiên cứu bởi Kawai (cuối thập niên 60) và đã được thương mại hóa vào đầu những năm 80.

Hình 1.1: Cảm biến áp điện

Hình 1.2: Động cơ áp điện

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Multiphysics là những vấn đề liên quan đến hai hay nhiều phương trình mô tả các hiện tượng vật lý khác nhau được liên kết với nhau thông qua các phương trình như là:

• Tương tác cơ-nhiệt
• Tương tác cơ-điện
• Tương tác cơ-điện từ

1.2.           Tình hình nghiên cứu ngoài nước

Tình hình nghiên cứu về sự tương tác đa trường trên thế giới hiện nay đang phát triển rất mạnh. Đặc biệt là ở một số nước phát triển như : Đức, Nhật, Mỹ,…

 Sự bất ổn định từ- nhiệt đàn hồi của tấm sắt từ trong các lĩnh vực nhiệt và từ tính của Xingzhe Wang, Jong S. Lee và Xiaojing Zheng khoa Cơ Khí, Đại Học Lanzhou, Trung Quốc và khoa Kỹ Thuật Xây Dựng và Môi Trường, Đại Học Hanyang, Hàn Quốc năm 2003.

Phân tích phần tử hữu hạn cho bài toán kết hợp nhiệt đàn hồi của J.  P.  CARTER  and  J.  R.  BOOKER khoa Kỹ thuật  Xây dựng và Khai thác mỏ, Đại học Sydney, Úc năm 2006.

Phương pháp phần tử hữu hạn phỏng đoán cho các mô hình của bộ giảm chấn nhiệt đàn hồi trong Vi cộng hưởng luận án tiến sĩ của đại học Liège năm 2006.

Một mô hìnhlý thuyết vàxây dựngphần tử hữu hạncholiên kết giữa Nhiệt-Điện-Hóa-Cơcủa Qing-Sheng Yang, Qing-Hua Qin, Lian-Hua Ma, Xu-Zhi Lu, Cai-Qin Cui xuất bản năm 2009.

Mô hình của hiệu ứng áp điện sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn của Sefer Avdiaj, Janez Setina, Naim Syla xuất bản năm 2009.

Ứng dụng của vật liệu áp điện trong ngành công nghiệp giao thông vận tải của Hội nghị chuyên đềtoàn cầu vềgiải pháp sáng tạovì sự tiến bộcủa ngành công nghiệpGiao thông vận tải, 4.-6. Tháng 10 năm 2006, San Sebastian,Tây Ban Nha…

1.3.  Tình hình nghiên cứu trong nước

Hiện nay tại Việt Nam, việc nghiên cứu về sự tương tác đa trường vẫn chưa phát triển mạnh.

Trong bài báo của P Phung-Van, T Nguyen-Thoi,T Le-Dinh3 và H Nguyen-Xuan đã phân tích dao động tự do và dao động tĩnh và điều khiển động học tấm composite được tích hợp bộ kích và cảm biến bằng phương pháp làm mịn hóa hóc cắt không liên tục dự trên các ô cơ bản(CS-FEM-DSG3). Trong các tấm composite có gắn tấm tinh thể áp điện này, coi điện thế là hàm tuyến tính theo chiều dày của mỗi lớp. Thuật toán điều khiển hồi tiếp của chuyển vị và vận tốc được sử dụng để điều khiển hồi tiếp động học và biến dạng tĩnh của tấm thông qua việc điều khiển vòng lập kính với các cảm biến và bộ kích áp điện được phân bố trên tấm. Độ chính xác và tin cậy của phương pháp đưa ra được kiểm tra thông qua việc so sánh với lời giải phương pháp số.

Các bài báo cáo về tương tác đa trường của PGS. TS Nguyễn Hoài Sơn Seminar khoa học định kỳ của nhóm Tính toán Cao cấp trong Khoa học và Kỹ thuật (GACES) thuộc Khoa Xây dựng và Cơ học Ứng dụng, trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP.HCM.

1.4.     Phân tích đẳng hình học

Xu hướng gần đây đang diễn ra trong phân tích kỹ thuật và tính toán hiệu năng cao đòi hỏi độ chính xác cao hơn và chặt chẽ hơn của quá trình mô hình hóa và phân tích tổng thể. Chúng ta biết rằng lưới phần tử hữu hạn là sự xấp xỉ gần đúng dạng hình học CAD. Việc xấp xỉ gần đúng này, trong nhiều tình huống có thể tạo ra sai số trong kết quả phân tích. Ví dụ như: phân tích bất ổn định của tấm rất nhạy cảm với sự không hoàn hảo của dạng hình học, hiện tượng lớp biên rất nhạy cảm với dạng hình học chính xác của cấu hình khí động học và thủy động lực học, và tiếp xúc trượt giữa các cấu trúc không thể biểu hiện chính xác mà không có mô tả chính xác dạng hình học. Không có dạng hình học chính xác và lưới tương thích thì việc đạt được kết quả hội tụ và có độ chính xác cao là điều không thể. Rõ ràng, cách để phá vỡ các rào cản giữa thiết kế kỹ thuật và phân tích là phải tái thiết lại toàn bộ quá trình, nhưng đồng thời duy trì khả năng tương thích với các quy trình kỹ thuật đã có. Một bước cơ bản là tập trung vào một và chỉ một, mô hình hình học, có thể được sử dụng trực tiếp như là một mô hình phân tích. Đây chính là lý thuyết của “Phân tích đẳng hình học” được Thomas J.R. Hughes và cộng sự đưa ra năm 2005.

            Phân tích đẳng hình học (Isogeometric Analysis), là phương pháp dựa trên những hàm cơ bản tạo từ NURBS (Non-Uniform Rational B-Splines) được dùng để xây dựng những mô hình hình học chính xác. Với mục đích phân tích, điều cơ bản là làm mới lại mô hình mà không làm thay đổi dạng hình học và dạng tham số của nó. Tương tự như FEM loại h- và p-; IGA là phương pháp mới có hiệu quả hơn, xử lý bậc cao hơn với bộ lọc loại k- (knot). Bảng bên dưới so sánh sự tương đồng của FEM và IGA. Trong phạm vi cấu trúc cơ học, các hàm cơ sở của IGA hoàn toàn phù hợp cho các biến đổi affine như trong FEM. Các ví dụ số đã được khảo sát cho thấy tốc độ hội tụ tối ưu cho các bài toán đàn hồi tuyến tính và tấm mỏng đàn hồi [5, 9].

Bảng 1.1: Bảng so sánh giữa IGA và FEM

 

Những điểm khác nhau
IGA	FEM
Dạng hình học chính xác	Xấp xỉ gần đúng dạng hình học
Điểm điều khiển	Nút điều khiển (nút lưới)
Không dựa trên nội suy biến và điểm	Dựa trên nội suy biến và điểm nút
Dựa trên NURBS	Dựa trên đa thức Lagrange
Bậc cao, dễ điều khiển sự liên tục	Liên tục C0 luôn cố định
Lọc hpk-IGA	Lọc hp-FEM
Ít biến thiên với dữ liệu bất liên tục	Dao động nhiều quanh dữ liệu bất liên tục
Những điểm giống nhau
Dựa trên lý thuyết đẳng tham số
Phương pháp Galerkin
Cấu trúc mã lập trình
Dựa trên các hàm cơ bản
Chia từng phần tử
Thỏa các điều kiện hội tụ (Patch tests)

 

FEM

IGA

Hình 1.3: So sánh lưới Node và Knot

            IGA là phương pháp khá mới, chỉ được phát triển gần đây cho một số lớp bài toán như tấm mỏng, vỏ. Do đó với đề tài “Phân tích tương tác đa trường bằng hiệu ứng tinh thể áp điện dùng cho cảm biến”, sẽ sử dụng phương pháp IGA cho vật liệu áp điện để phân tích bài toán tương tác cơ điện.

   1.5.  Mục tiêu nghiên cứu

            - Nghiên cứu về vật liệu áp điện.

            - Xây dựng phương trình phần tử hữu hạn cho vật liệu áp điện.

            - Giải quyết một số bài toán dùng vật liệu áp điện bằng phương pháp phần tử hữu hạn đẳng hình học.

1.6.  Giới hạn của đề tài

Do trong thời gian ngắn nên đề tài chỉ giới thiệu phương pháp phần tử hữu hạn đẳng hình học cho vật liệu áp điện và giải quyết một số bài toán cơ điện dùng vật liệu áp điện như dạng tấm 1 lớp, 2 lớp.

1.7. Sự tổ chức trong luận văn:

    Luận văn gồm 6 chương và được tổ chức như sau:

Chương 1, giới thiệu chung về vật liệu áp điện với các ứng dụng rộng rãi  trên thế giới, giới thiệu sơ lược về sườn của phân tích đẳng hình học và phần tử hữu hạn.

Chương 2, giới thiệu tóm tắt vật liệu áp điện, một vài đặc tính của vật liệu áp điện và phương trình cơ bản của hiệu ứng áp điện. Chúng tôi cũng đưa ra sự xem lại của mô hình phần tử hữu hạn của cấu trúc áp điện.

Chương 3, chúng tôi mô tả tóm tắt về đường cong và mặt cong và giới thiệu về đường cong đa thức B-Spline với nhiều tính chất quan trọng để thiết kế.

Chương 4, trong chương này trình bày hàm cơ bản tạo từ NURBS, cung cấp khái quát về đường cong hữu tỷ B-Spline sử dụng hệ toạ độ đồng nhất, giới thiệu một phương pháp số mới là phân tích đẳng hình học (IGA) dựa trên hàm cơ bản NURBS, một tiêu chuẩn kỹ thuật trong hệ thống CAD. Trong chương này cũng trình bày phép tính gần đúng cho bài toán áp điện 2D sử dụng phân tích đẳng hình học.

Chương 5, đưa ra một số ví dụ và kết quả nhận được đã được so sánh với kết quả giải tích.

Chương 6, kết thúc là nhận xét cuối cùng gồm kết quả đạt được trong luận văn và một số kiện nghị và hướng phát triển của đề tài.

 

 

Chương 2

CƠ SỞ LÝ THUYẾT VỀ VẬT LIỆU ÁP ĐIỆN

 

2.1.      Giới thiệu

Vật liệu áp điện có thể xem là loại vật liêu thông minh được sử dụng rộng rãi nhất. Chúng thường được tích hợp trong các cấu trúc để tạo ra một lớp các loại cấu trúc thông minh, có tính thích nghi. Chúng có phạm vi áp dụng lớn trong kỹ thuật với chi phí thấp, trọng lượng nhẹ, độ bền cao và dễ tạo hình hay dán hoặc nhúng vào trong các cấu trúc. Loại vật liệu này tạo ra điện tích dưới tác dụng cơ học hay biến dạng lớn và ngược lại khi đặt vào chúng một điện thế thì sẽ sinh ra ứng suất hoặc biến dạng cơ học. Vì thế, chúng có thể được dùng làm cảm biến hoặc cơ cấu phát động.

Ví dụ:

                                                  (cơ – điện)

Hình 2.1: Thiết bị ghi cơ điện (Electromyography), ghi nhận tín hiệu điện được tạo ra khi cơ bắp hoạt động

                                                  (điện – cơ)

Hình 2.2: Thiết bị tạo rung âm dùng trong các loại loa

Hiệu ứng áp điện là hiệu ứng chuyển hóa năng lượng giữa điện cà cơ. Việc này chỉ xảy ra khi vật liệu đó có chứa các hạt mang điện và có khả năng phân cực. Về mặt vật liệu thì biểu hiện ở tính dị hướng, cấu trúc tinh thể của nó không có tâm đối xứng.

Hầu hết các vật liệu áp điện đều là tinh thể rắn. Có thể ở dạng đơn tinh thể, từ tự nhiên hay qua quá trình tổng hợp; hoặc dạng đa tinh thể như gốm sắt điện (ferroelectric ceramics)

2.2.      Sự phân cực điện

Một vật liệu có thể bị phân cực dưới tác dụng của điện trường gọi là điện môi. Sự phân cực của điện môi có 3 loại:

Phân cực điện từ (electronic polarization): khi đặt trong điện trường, đám mây điện từ tạo nên lưỡng cực [8].

Hình 2.3: Phân cực điện từ

Phân cực ion (ionic polarization): khi đặt trong điện trường, ion âm (anion) bị hút về cực dương (anode) và ion dương (cation) bị hút về cực âm (cathode) tạo nên lưỡng cực.

     Hình 2.4: Phân cực ion  

Phân cực lưỡng cực (dipole polarization): tổng quát thì vật liệu không phân cực có thể được tạo thành từ nhiều miền phân cực. Khi đặt vào điện trường sẽ làm các miền đó tái định hướng gây ra sự phân cực toàn cục.

Hình 2.5: Phân cực lưỡng cực

 

2.3.      Tinh thể 2 ion

Để giải thích cho vật liệu áp điện, ta lấy ví dụ 1 chiều đơn giản từ tinh thể 2 ion CdS (Cadmium sulfide).

Tinh thể CdS có cấu trúc chuỗi các hàng đồng nhất bao gồm các chuỗi con như hình

  

Hình 2.6: Cấu trúc tinh thể CdS

Ion dương Cd: +q

Ion âm S: -q

Lực nội nguyên tử được biểu diễn dưới dạng các lò xo với độ cứng k₁ , k₂ .

Tinh thể được tạo thành từ n phần tử CdS cơ bản cách nhau một khoàng là a, khoảng cách giữa phân tử Cd và S là b.

Điện tích của 2 điện cực là: q(a – b)/2 [Cd] và – q/2 [S].

            Sự phân cực tự do toàn cục là:

                                                                                                               (1)

Khi tinh thể bị cưỡng bức (dọc trục), khoảng cách phân tử thay đổi nên gây ra 1 sự phân cực P (hiện tượng áp điện thuận).

                                                                                     (2)

Ngược lại, khi đặt vào 1 điện trường E dọc trục thì các ion sẽ di chuyển gây ra sự biến dạng toàn cục (hiện tượng áp điện ngược).

Quan hệ cân bằng tĩnh giữa các ion có thể được viết như sau:

                                                                                    (3)

Sự phân cực có mối quan hệ giữa điện trường và chuyển vị nguyên tử:

                                                                           (4)

            hay                                                                       (5)

            Đặt           là độ phân cực của tinh thể                      (6)

                             là biến dạng                                                               (7)

                                      là hằng số chân không                                   (8)

Chuyển vị điện (gây ra phân cực) là

                                                                                                       (9)

             là hằng số biến dạng, e₀ là hệ số chân không             (10)

Ứng suất sinh ra trong 1 phân tố vuông góc trên trục, bao gồm N hàng với số các lò xo k₁ , k₂ là bằng nhau:

                                                                                  (11)

Xem N = na thì

                                                                      (12)

Viết lại

                                                                                                        (13)

          là độ cứng cơ học tại 1 hằng số điện trường.

2.4.      Tiếp cận phần tử hữu hạn

2.4.1.         Nguyên lý biến phân

Hàm kết cấu áp điện được viết lại dưới dạng [8]:

                                                                                        (14)

                                                                                        (15)

            Với {T} vector ứng suất; {S} vector biến dạng; {E} điện trường; {D} chuyển vị điện; [c^E] hệ số đàn hồi tại 1 hằng số {E}; [e^S] hệ số cách điện tại 1 hằng số {S}; [e] hệ số ghép áp điện.

Vật liệu PZT (Lead Zirconate Titanate | Pb[Zr_xTi_1-x]O₃) (0

                     (16)

                      (17)

Năng lượng của vật liệu áp điện bao gồm năng lượng biến dạng và năng lượng điện.

Phương trình động học của trường áp điện liên tục có thể được mô tả thông qua nguyên lý Hamilton [8] (động lực học của 1 hệ thống vật lý được xác định bời 1 bài toán biến phân hàm dựa trên 1 hàm đơn – hàm Lagrange – chứa tất cả thông tin vật lý liên quan và lực tác dụng. Bài toán biến phân đó tương đương với đạo hàm của phương trình vi phân chuyển động):

                                                                                                (18)

t₁, t₂ xác định một khoảng thời gian (biến phân bằng 0 tại t = t₁, và t = t₂), L là hàm Lagrange và W là công ảo của ngoại lực cơ học và lực điện.

          Hàm  Lagrange L được xác định bằng tổng của động năng J và enthalpy điện H (thuộc tính của nhiệt động học của một hệ thống nhiệt động, dùng để tính sự truyền nhiệt)

          Cường độ enthalpy điện được định nghĩa là:

                                                                                                        (19)

          Sự bảo toàn năng lượng cho trường áp điện tuyến tính theo định luật 1 nhiệt động học:

                                                                                              (20)

          Từ (19), (20) cho ta

                                                                                              (21)

           Ngoài ra:                    

                                   

          Trong lý thuyết áp điện, H còn có dạng sau:

                                                                 (22)

          Với c_ijkl, e_ijkl, e_ij là các hằng số đàn hồi, áp điện và cách điện.

                                                                                                     (23)

                                                                                  (24)

                        (25)

          Công ảo do ngoại lực cơ học và tải điện cho một biến phân bất kỳ của trường chuyển vị {du} và điện thế năng {df} thõa mãn điều kiện biên cơ bản [8]:

         (26)

          Với {F_V} là lực khối, {F_W} là lực mặt, {F_P} các điểm lực, f là thế điện năng, J (theta) là điện tích mặt, Q là điện tích tập trung, r là khối lượng.

          Từ (24) và (26) có thể thấy được sự tương đồng giữa biến cơ và biến điện:

Cơ	Điện
Lực {F}	Điện tích J
Chuyển vị {u}	Điện áp f
Ứng suất {T}	Chuyển vị điện {D}
Biến dạng {S}	Điện trường {E}

          Tích phân từng phần biến phân động lượng theo thời gian, ta được

               (27)

          Do     {du} = 0 tại t = t₁và t = t₂

          Viết lại nguyên lý Hamilton (18) dùng (25),(26),(27) để có (28)

    (28)

2.4.2.     Công thức phần tử hữu hạn

          Chuyển vị {u} và điện thế f được tính như sau:

                                                                                                     (29)

                                                                                                         (30)

          Trong đó N_u, N_f là các hàm dạng

          Trường biến dạng {S} và điện trường {E} được cho bởi :                                                                                                                            (31)                                                                                                     (32)

          Trong đó Ñ là toán tử gradient, [D] là toán tử đạo hàm ,   {S} = [D]{u}

                                                                                             (33)

           Thay (29), (30), (31), (32), (33) vào (28), ta được :

                       (34)

          Xét trên tất cả các phần tử, (34) có thể viết dưới dạng:                                                         (35)

                                                                                  (36)

           Với:

                           khối lượng                                         (37)

                       độ cứng                                              (38)

                       ghép áp điện (piezoelectric coupling)  (39)

                        điện dung                                           (40)

                                                  

            ngoại lực              (41)

                                             điện tích               (42)

          Mỗi phần tử thứ k nào đó có quan hệ với phần tử kế cận tại các nút toàn cục và chuyển vị là liên tục trên các phần tử. Bậc tự do của phần tử (dof)({u_i}^(k),{f_i}^(k)) có liên hệ đến bậc tự do toàn cục (dof)({U},{F}) bởi các ma trận biến đổi địa phương

                                                                                                (43)

                                                                                                (44)

          Các thành phần ij của [L_u]^(k) bằng 1 khi dof cơ học thứ i của phần tử k tướng ứng với dof toàn cục thứ j và bằng 0 nếu ngược lại.

          Các thành phần ij của [L_f]^(k) bằng 1 khi dof điện thứ i của phần tử k tướng ứng với dof toàn cục thứ j và bằng 0 nếu ngược lại.

........................................

Chương 6

KẾT LUẬN

 

            Trong luận văn này đã trình bày sự tương tác đa trường bằng hiệu ứng tinh thể áp điện dùng cho cảm biến, cụ thể đã giải quyết một số ví dụ cho bài toán cơ - điện của vật liệu áp điện dựa trên một cách phân tích mới, gọi là phân tích đẳng hình học (IGA), là phương pháp phân tích dự trên NURBS. Nó có nhiều nét tương đồng với phân tích hữu hạn truyền thống, điều khác biệt chủ yếu là dùng NURBS để biểu diễn dạng hình học chính xác cho lưới phần tử và dùng lý thuyết đẳng tham số để xác định các miền giá trị cần tìm như chuyển vị, ứng suất, nhiệt độ, v.v. Với lưới tương đối thô đã có thể biểu diễn chính xác miền hình học. Việc làm mịn lưới phần tử  NURBS cũng có những nét tương đồng với phần tử hữu hạn loại h- và p-, ngoài ra nó còn có một biến thể khác của làm mịn loại p- gọi là làm mịn loại k-; làm mịn loại k- sẽ làm tăng tính liên tục của hàm cơ bản. Cách tiếp cận của phương pháp này về cơ bản sẽ dùng bậc cao. Như để mô tả đường tròn, hình trụ, hình cầu, ta sẽ cần một đa thức hữu tỷ tối thiểu ở dạng bậc 2. Tổng quát thì việc làm mịn lưới NURBS với các bậc khác nhau sẽ được đơn giản hóa bằng cách lâp lại các quan hệ. Mặt khác, Nurbs không có tính nội suy. Chúng dựa trên lưới điều khiển và biến điều khiển còn phần tử hữu hạn truyền thống thì dựa trên nội suy nút và giá trị nút.

            Trong luận văn này đã dùng phương pháp phân tích đẳng hình học để giải quyết một số bài toán dùng vật liệu áp điện, loại vật liệu thông minh và có nhiều ứng dụng  trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Các kết quả được so sánh với những kết quả giải tích hoặc kết quả tham khảo đáng tin cậy đều cho thấy rằng với phương pháp mới này thì kết quả phân tích đều xấp xỉ gần với những lời giải chính xác. Điều này có thể đi đến kết luận là phương pháp phân tích đẳng hình có nhiều tiềm năng tốt trong việc giải các bài toán thực tế và hứa hẹn sẽ là một lựa chọn tốt cho các quá trình phân tích hiện nay.