LUẬN VĂN PHÂN TÍCH TĨNH HỌC VÀ ĐỘNG HỌC BÀI TOÁN ĐÀN HỒI HAI CHIỀU BẰNG PHƯƠNG PHÁP MESHLESS

LUẬN VĂN PHÂN TÍCH TĨNH HỌC VÀ ĐỘNG HỌC BÀI TOÁN ĐÀN HỒI HAI CHIỀU BẰNG PHƯƠNG PHÁP MESHLESS, thuyết minh, động học máy, kết cấu máy, nguyên lý máy, cấu tạo máy, quy trình sản xuất

TÓM TẮT
 
Phương pháp phần tử tự do Galerkin (EFG) là một phương pháp không lưới để giải các phương trình vi phân từng phần. Phương pháp này chỉ yêu cầu một hệ các điểm nút và hình dạng của vật thể để thiết lập mô hình rời rạc. Phương pháp này đã được sử dụng để phân tích các bài toán nứt và đã cho kết quả rất tốt khi có sự chỉnh lý thích hợp tại những điểm gần đáy vết nứt.
Trong đề tài này, phép xấp xỉ không lưới được sử dụng để phân tích các bài toán đàn hồi hai chiều là phương pháp EFG. Phương pháp này dựa trên phép xấp xỉ bình phương tối thiểu động (MLS) để xây dựng hàm xấp xỉ cho dạng yếu Galerkin. Hàm chuyển vị chưa biết  được xấp xỉ bởi phép xấp xỉ bình phương tối thiểu động . Phép xấp xỉ này được xây dựng bởi việc sử dụng một hàm trọng số, một hàm cơ sở đơn thức và các hệ số khác hằng. Việc chia lưới được thực hiện tương tự như phương pháp phần tử hữu hạn để cung cấp lưới nền cho tích phân số. Khử điều kiện biên chính trong phương pháp EFG bằng phương pháp nhân tử Lagrange và phương pháp phạt. Trong nghiên cứu này, phương pháp EFG được ứng dụng để phân tích các bài toán đàn hồi hai chiều: dầm Timoshenko, tấm vô hạn với lỗ tròn ở giữa, ống dày chịu áp suất bên trong và tấm vô hạn với vết nứt ở giữa. Kết quả thu được trong phân tích các bài toán đàn hồi hai chiều với những hàm trọng khác nhau, kích thước lưới khác nhau, bán kính miền ảnh hưởng khác nhau sẽ được so sánh với lời giải giải tích. Ngoài ra, một chương trình phân tích bằng ngôn ngữ lập trình Matlab được tác giả thực hiện trong đề tài này. Chương trình Matlab này có thể được phát triển để xây dựng phần mềm ứng dụng trong tương lai.



MỤC LỤC

Tóm tắt     i
Mục lục    ii

1.    Giới thiệu
1.1    Tổng quan                                                                 1
1.2    Mục tiêu của luận văn                                             1
1.3    Đề cương luận văn                                                  2
2    Xây dựng hàm dạng    
2.1    Giới thiệu                                                                   4
2.2    Phép xấp xỉ bình phương tối thiểu động              4
2.3    Miền xác định                                                            9
2.4    Hàm trọng số                                                          10
2.5    Kết luận                                                                   13
3    Phương pháp EFG
3.1    Giới thiệu    14
3.2    Xây dựng hàm dạng    15
3.3    Miền xác định và hàm trọng số    16
3.4    Chỉnh lý điều kiện biên chính bằng nhân tử lagrange    18
3.4.1    Phân tích tĩnh bài toán đàn hồi hai chiều    18
3.4.2    Phân tích dao động tự do cho bài toán hai chiều    23
3.5    Chỉnh lý điều kiện biên chính bằng phương pháp phạt    24
3.5.1    Phân tích tĩnh bài toán đàn hồi hai chiều    24
3.5.2    Phân tích dao động tự do cho bài toán hai chiều    26
3.6    Kết luận    27
4    Ví dụ số
4.1    Giới thiệu    28
4.2    Bài toán dầm timoshenko    28
4.2.1    Mô hình và thông số phân tích    28
4.2.2    Kết quả phân tích tĩnh học    29
4.2.3    Kết quả phân tích dao động tự do    32
4.3    Đĩa vô hạn với lỗ tròn ở giữa    33
4.3.1    Mô hình và thông số phân tích    33
4.3.2    Kết quả phân tích    34
4.4    Ống dày chịu áp suất bên trong    35
4.4.1    Mô hình và thông số phân tích    35
4.4.2    Kết quả phân tích    37
4.5    Bài toán nứt    38
4.5.1    Mô hình và thông số phân tích    38
4.5.2    Kết quả phân tích    39
4.6    Kết luận    39
5    Kết luận và hướng phát triển
5.1    Kết luận                      42
5.2    Hướng phát triển      48

Tài liệu tham khảo             50

Chương 1: Giới Thiệu                                                                2    2    

Chương 1
GIỚI THIỆU

1.1    TỔNG QUAN
Ngày nay nhiều phương pháp tính số đã và đang phát triển mạnh mẽ và trở thành một công cụ hữu hiệu không thể thiếu được khi giải quyết các bài toán Khoa học – Kỹ thuật.
Hiệu quả của một phương pháp số được đánh giá dựa vào hai tiêu chí: sai số và tốc độ hội tụ của phương pháp. Trong FEM việc chia lưới là công việc tốn nhiều thời gian và công sức trong quá trình tính toán, độ chính xác của lời giải phụ thuộc rất nhiều vào chất lượng lưới.
Trong 2 thập kỷ gần đây, các nhà nghiên cứu đã tìm ra được phương pháp tính gần đúng (Phương pháp số) mới. Đó là các phương pháp không lưới (Meshless methods).
Đặc điểm của phương pháp này là chỉ yêu cầu một hệ các điểm nút cùng với các miền ảnh hưởng (miền con) của nó để xây dựng lời giải xấp xỉ mà không cần có sự ràng buộc hay liên hệ giữa các nút. Tuy nhiên,  trong phương pháp không lưới còn phải chỉnh lý lại các điều kiện biên chính để chúng thoả mãn (Thường dùng phương pháp nhân tử Lagrange hoặc biên phạt để chỉnh lý điều kiện biên chính).

1.2    MỤC TIÊU CỦA LUẬN VĂN

Tìm hiểu cơ sở lý thuyết của phương pháp EFG, ứng dụng phương pháp này để phân tích tĩnh học và động học bài toán đàn hồi hai chiều. Các bài toán sẽ được phân tích bao gồm:
·    Phân tích tĩnh học và dao động tự do của dầm Timoshenko.
·    Phân tích chuyển vị và sự phân bố ứng suất trên đĩa vô hạn với lỗ tròn ở giữa.
·    Phân tích chuyển vị và sự phân bố ứng suất trên ống dày chịu áp suất bên trong.
·    Phân tích chuyển vị và sự phân bố ứng suất trên tấm có vết nứt ở giữa.
Đánh giá kết quả của lời giải EFG với lời giải giải tích và đề xuất các biện pháp để nâng cao tính chính xác và tốc độ hội tụ của phương pháp.
Xây dựng thuật toán, viết chương trình phân tích tĩnh học và động học cho bài toán  đàn hồi hai chiều bằng ngôn ngữ lập trình Matlab.

1.3    ĐỀ CƯƠNG LUẬN VĂN

Luận văn gồm sáu chương từ chương 1 tới chương 6, với nội dung chính của các chương như sau:
Chương một trình bày một cách tóm tắt về sự phát triển và ứng dụng của phương pháp không lưới hiện nay ở trên thế giới và ở Việt nam. Trong đó  trình bày các ưu điểm của phương pháp này so với các phương pháp số khác như FEM hay BEM. Cơ sở của phương pháp không lưới và sự khác nhau giữa các phương pháp không lưới cũng được trình bày trong chương này. Phần mục đích của luận văn được trình bày trong phần tiếp theo sau phần giới thiệu của chương.
Chương hai trình bày sơ lược cơ sở lý thuyết để xây dựng phương trình vi phân mô tả bài toán đàn hồi hai chiều cùng với các điều kiện biên.
Chương ba tập trung vào việc xây dựng hàm dạng cho phương pháp EFG, gồm các vấn đề chính sau: 1) phép xấp xỉ bình phương tối thiểu động (MLS) được trình bày trước tiên. 2) Tiếp theo là các dạng hàm trọng số và cách chọn hàm trọng số cho phép xấp xỉ. 3) Khái niệm miền xác định và miền ảnh hưởng, cách chọn kích thước cho miền ảnh hưởng.
Chương bốn trình bày nội dung chính của phương pháp không lưới EFG (Element Free Galerkin), gồm các vấn đề chính sau: 1) Xây dựng hàm dạng cho phương pháp. 2) Chọn miền xác định và dạng hàm trọng số. 3) Sử dụng nguyên lý biến phân để xây dựng dạng yếu cho bài toán đàn hồi hai chiều. 4) Hàm dạng trong phương pháp EFG không thỏa mãn điều kiện biên chính, vì vậy phương pháp nhân tử Lagrange (lagrangian multiplier method) và phương phương pháp phạt (penalty method) để chỉnh lý điều kiện biên chính cũng được trình bày trong chương này. Các giải thuật để xây dựng chương trình phân tích cũng được đề cập ở cuối chương.
Chương năm là ví dụ số, trong chương này tác giả ứng dụng phương pháp EFG vào phân tích tĩnh học và động học bài toán đàn hồi hai chiều: bài toán dầm Timoshenko, đĩa vô hạn với lỗ tròn ở giữa, bài toán ống dày chịu áp suất bên trong, tấm có vết nứt ở giữa. Một chương trình phân tích được viết bằng ngôn ngữ lập trình Matlab được tác giả xây dựng cho kết quả tin cậy. Trong chương này các kết quả có được từ phương pháp EFG với các thông số khác nhau của bán kính miền ảnh hưởng, mật độ nút,… được so sánh với kết quả từ lời giải giải tích.
Chương sáu là phần đánh giá và kết luận cho luận văn, bao gồm phần đánh giá sai số, tốc độ hội tụ của phương pháp. Cuối cùng là phần kết luận, hướng phát triển tiếp theo của luận văn, phần danh mục các tài liệu tham khảo được trình bày trong phần cuối cùng của luận văn này.

Chương 2
XÂY DỰNG HÀM DẠNG

2.1    GIỚI THIỆU

Xây dựng hàm dạng là nhiệm vụ trung tâm và quan trọng nhất trong các phương pháp không lưới. Sự khác nhau ở phương pháp xây dựng hàm dạng, hàm kiểm tra và phương pháp tích phân dẫn đến các phương pháp không lưới khác nhau. Vấn đề là làm thế nào để xây dựng hàm dạng với việc chỉ sử dụng các nút phân bố bất kì trong miền bài toán mà không cần phải định nghĩa lưới. Tìm ra kỹ thuật xây dựng hàm dạng tốt là hướng nghiên cứu được quan tâm nhiều nhất trong lĩnh vực không lưới.
Trong chương này tác giả trình bày kỹ thuật xấp xỉ bình phương tối thiểu động làm cơ sở xây dựng hàm dạng trong phương pháp EFG (Element Free Galerkin). [11]

2.2    PHÉP XẤP XỈ BÌNH PHƯƠNG TỐI THIỂU ĐỘNG (MOVING LEAST-SQUARE APPROXIMATION)

Phép xấp xỉ bình phương tối thiểu động (MLS) đã được Lancaster và Salkauskas sử dụng từ năm 1981. Tuy nhiên, cách xấp xỉ trên đã không được ai sử dụng cho tới khi Nayroles, Touzot và Villon sử dụng vào năm 1992 để xây dựng các hàm xấp xỉ. Các tác giả Belytschko, Lu và Gu (1994) đã trình bày khá chi tiết về MLS.
Nội dung tổng quát của phép xấp xỉ bình phương tối thiểu động (MLS) như sau: trường chuyển vị  u(x) được xấp xỉ bằng MLS. Phép xấp xỉ này dựa trên 3 yếu tố:
     Một hàm trọng số (weight function) của miền ảnh hưởng liên quan đến mỗi nút.
    Một cơ sở đơn thức hoàn chỉnh.
    Một tập các hệ số phụ thuộc vào vị trí  của điểm cần xấp xỉ.

.......................................................................................................................................................................................................

Chương 5
KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN

5.1    KẾT LUẬN

Mục tiêu của đề tài là nghiên cứu phương pháp EFG và ứng dụng phương pháp này để phân tích tĩnh học và động học bài toán đàn hồi hai chiều. Một chương trình tính toán tự động được lập trình bằng ngôn ngữ Matlab để phân tích các bài toán: dầm Timoshenko, đĩa vô hạn với lỗ tròn ở giữa, ống dày chịu áp suất bên trong, tấm có vết nứt đã được tác giải thực hiện và cho kết quả tin cậy so với lời giải giải tích.
Phương pháp EFG là công cụ rất tốt để giải các bài toán trị biên mà đặc biệt là các bài toán có biến dạng lớn. Đặc điểm của phương pháp này là chỉ yêu cầu một hệ các điểm nút cùng với các miền ảnh hưởng (miền con) của nó để xây dựng lời giải xấp xỉ mà không cần có sự ràng buộc hay liên hệ giữa các nút. Tuy nhiên,  trong phương pháp này hàm dạng không thỏa mãn điều kiện biên chính () vì vậy cần phải chỉnh lý lại điều kiện biên chính để chúng thoả mãn, trong đề tài này tác giả sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange và phương pháp phạt để chỉnh lý điều kiện biên chính.
Phương pháp EFG dựa trên phép xấp xỉ bình phương tối thiểu động, hàm chuyển vị chưa biết  được xấp xỉ bằng phép xấp xỉ bình phương tối thiểu động . Phép xấp xỉ này được xây dựng bằng cách sử dụng một hàm trọng số, một cơ sở đơn thức với hệ số khác hằng. Việc chia lưới cũng tương tự như phương pháp phần tử hữu hạn để có được lưới nền cho tích phân số (tuy nhiên yêu cầu về lưới không khắt khe như trong PTHH).
Đặc trưng của phương pháp EFG:
·    Phương pháp này sử dụng phép xấp xỉ bình phương tối thiểu động để xây dựng hàm dạng.
·    Sử dụng dạng yếu Galerkin để xây dựng hệ phương trình.
·    Sử dụng lưới nền tích phân để tính hệ phương trình.
Qua kết quả phân tích các bài toán đàn hồi hai chiều bằng phương pháp EFG, tác giả nhận thấy một số vấn đề cần lưu ý khi sử dụng phương pháp này:
·    Phương pháp EFG là phương pháp không lưới được xây dựng dựa trên nguyên lý biến phân Galerkin toàn cục.
·    Trong phương pháp EFG hàm chuyển vị  được xấp xỉ bởi . Do đó những nguyên nhân ảnh hưởng đến độ chính xác của lời giải bằng phương pháp EFG là: 1) kích thước bán kính miền ảnh hưởng , 2) dạng hàm trọng số được lựa chọn, 3) mật độ nút phân bố trong miền khảo sát, 4) số điểm Gauss trong từng miền con và trong toàn miền khảo sát, 5) thông số phạt .
·    Phương pháp EFG cho kết quả liên tục trên các biến thứ cấp, đây là khác biệt rất lớn mà các phương pháp khác không có được. Như vậy, có thể khẳng định, đây là một ưu điểm rất lớn của phương pháp EFG.
·    Trong phép xấp xỉ MLS, kích thước  của miền ảnh hưởng đóng vai trò rất quan trọng. Nên chọn  đủ lớn để miền ảnh hưởng bao hàm được các nút cần thiết trong miền con () và để chắc chắn ma trận  (3.7) không bị suy biến. Ngược lại, nên chọn  đủ nhỏ để phép xấp xỉ MLS có được tính chất địa phương- “phần tử” (local character) của nó.
·    Số điểm tích phân Gauss nhỏ nhất phải lớn hơn hai phần ba số nút phân bố trong miền bài toán ().
·    Tỉ số giữa số điểm tích phân Gauss và số nút () nằm trong khoảng từ 3 đến 9, kết quả kinh tế với độ chính xác chấp nhận được có thể có được với .

...............................................................................................................................

Hình 5.1 mô tả tốc độ hội tụ của chuẩn năng lượng của phương pháp phạt và phương pháp Lagrange theo khoảng cách trung bình của các nút. Kết quả khảo sát cho thấy phương pháp phạt cho tốc độ hội tụ của chuẩn năng lượng nhanh hơn so với phương pháp Lagrange.
Hình 5.2 mô tả quan hệ giữa thời gian phân tích và khoảng cách trung bình của các nút. Kết quả cho thấy rằng phương pháp phạt kinh tế hơn phương pháp Lagrange.
Hình 5.3 đến hình 5.7 mô tả sự phụ thuộc của tốc độ hội tụ và thời gian phân tích đến số lượng lưới và bán kính miền ảnh hưởng. Từ kết quả phân tích cho thấy việc thay đổi số lượng lưới hội tụ nhanh hơn sự thay đổi bán kính miền ảnh hưởng
Từ kết quả phân tích của bốn bài toán hai chiều bằng phương pháp EFG so với lời giải giải tích cho thấy phương pháp EFG là một phương pháp tin cậy và có hiệu quả tốt trong phân tích các bài toán kỹ thuật.
Trong đề tài này, tác giả sử dụng ngôn ngữ lập trình Matlab để xây dựng chương trình phân tích tĩnh học và động học bài toán đàn hồi hai chiều, chương trình này cho kết quả tin cậy so với lời giải giải tích. Các giải thuật chia lưới nền tự động cho các kết cấu cũng được tác giả thực hiện để có được các lời giải với mật độ lưới khác nhau. Một giao diện được lập trình cho phép thay đổi các thông số để có thể khảo sát bài toán với các thông số khác nhau.

5.1    HƯỚNG PHÁT TRIỂN

Bên cạnh những ưu điểm nổi bậc, phương pháp EFG vẫn còn tồn tại một số vấn đề cần phải được nghiên cứu:
·    Hàm dạng của EFG còn khá phức tạp và không có tính chất Delta Kronecker do vậy cần phải chỉnh lý điều kiện biên chính.
·    Ma trận độ cứng toàn cục có dạng băng nhưng không đối xứng.
·    Chưa có cơ sở để lựa chọn bán kính miền ảnh hưởng, thông số phạt, mật độ nút để có lời giải tốt. Vì vậy gây khó khăn cho người sử dụng.
Cùng với việc nghiên cứu để hạn chế các nhược điểm của phương pháp, hướng cần được phát triển là ứng dụng phương pháp này vào giải quyết các bài toán biến dạng lớn, bài toán phát hiện và dự đoán sự phát triển của vết nứt, bài toán biến dạng dẻo
    52

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1]    Nguyễn Hoài Sơn, Vũ Như Phan Thiện, Đỗ Thanh Việt. Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn với Matlab. NXB Đại Học Quốc Gia TP. Hồ Chí Minh, 2001.
[2]    Nguyễn Hoài Sơn, Đỗ Thanh Việt, Bùi Xuân Lâm. Ứng dụng matlab trong tính toán kỹ thuật. NXB Đại Học Quốc Gia TP. Hồ Chí Minh, 2000.
[3]    Nguyễn Hoài Sơn, Lê Thanh Phong, Mai Đức Đãi. Ứng dụng phương pháp phần tử hữu hạn trong tính toán kết cấu. NXB Đại Học Quốc Gia TP. Hồ Chí Minh, 2006.
[4]    Nguyễn Hoài Sơn, Lê Thanh Phong, Mai Đức Đãi. Ứng dụng phương pháp phần tử hữu hạn trong tính toán Kỹ thuật. NXB Đại Học Quốc Gia TP. Hồ Chí Minh, 2006.
[5]    Đỗ Kiến Quốc. Đàn Hồi Ứng Dụng. NXB Đại Học Quốc Gia TP. Hồ Chí Minh, 2002.
[6]    Belystchko T, Krongauz Y and Ogan D and Fleming M and Krysl P. Meshless methods: An overview and recent developments. International Journal for Numerical Methods in Engineering.  1996.
[7]    Belytschko T, Lu YY and Gu L. Element free Galerkin method. International Journal for Numerical Methods in Engineering 1994; 37:229-256.
[8]    Brian M. Donning, Wing Kam Liu. Meshless Methods for Shea- Deformable Beams and Plates. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, January 1997.
[9]    Bui Quoc Tinh. Application of the element free Galerkin method for dual analysis. European Masters thesis, University of Liege, Beligum, 2005.
[10]    Carlos M. Tiago, Vitor  M. A. Leito. Analysis Of Free Vibration Problems With The Element- Free Galerkin Method. Av. Rovisco Pais, 1049-001 Lisboa, Portugal., 2002.
[11]    David W. Nicholson. Finite Element Analysis: Thermomechanics of Solids. Crc Press. 2003.
[12]    Element-Free Galerkin Method. Structural Engineering and Mechanics, Vol. 10, No. 6 (2000) 635-650.
[13]    Franklin Y. Cheng, Yuanxian Gu. Computational Mechanics in Structural Engineering. Elsevier Science. 1999.
[14]    G. R. Liu , Y. T. Gu, Y. L. Wu. A Meshfree Weak-Strong-form (MWS) Method. International Workshop on MeshFree Methods 2003.
[15]    G. R. Liu, M. B. Liu. Smoothed Particle Hydrodynamics a Meshfree Particle Method. World Scientific. 2003.
[16]    G. R. Liu. Meshfree Methods, Moving beyond the Finite Element Method. CRC Press: Boca Raton, 2003.
[17]    H.-J. Chung, T. Belytschko. An Error Estimate In The EFG Method. Computational Mechanics 21 (1998) 91-100 Springer-Verlag 1998.
[18]    Heung, Jin Chung. Adaptive Nodal Generation with The
[19]    Jaan Kiusalaas. Numerical Methods in Engineering with Matlab. Cambridge University Press. 2005.
[20]    J. Dolbow, T. Belytschko. Numerical Integration of The Galerkin Weak Form in Meshfree Methods. Computational Mechanics 23 (1999) 219-230. Springer-Verlag 1999.
[21]    J. E. Akin. Finite Element Analysis with Error Estimators. Elsevier. 2005.
[22]    Jiangfeng Ma. Meshless Method for Modeling Large Deformation with Elastoplasticity. Doctoral Thesis, Kansas state university, 2007.
[23]    John Dolbow, Belytschko T. An Introduction to Programming the Meshless Element Free Galerkin Method. International Journal for Numerical Methods in Engineering 1998.
[24]    M. Fleming, Y. A. Chuy, B_ Moranz, T. Belytschkox. Enriched Element_Free Galerkin Methods for Crack Tip Fields. International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1994.
[25]    O. C. Zienkiewicz, R .L . Taylor. The Finite Element Method for Solid and Structural Mechanics. Sixth edition, Elsevier. 2005.
[26]    Patrick marchand, O. Thomas Holland. Graphics and GUIs with Matlab. Third edition, CRC Press. 2005.
[27]    S. N. Atluri, Tulong Zhu. New Concepts in Meshless Methods. International Journal for Numerical Methods in Engineering. 2000.
[28]    Shaofan Li, Wing Kam Liu. Meshfree and Particle Methods and Their Applications. American  Society of Mechanical Engineers, 2002.
[29]    Sonia Fernandez Mendez. Mesh-free methods and Finite elements: friend or foe. Doctoral Thesis, University of Politecnica and catalunya, 2001.
[30]    Steven T. Karris. Numerical Analysis Using Matlab ® and Spreadsheets. Second Edition, Orchard Publications, www.orchardpublications.com
[31]    Viktor Petersson. An Implementation of Mesh Free Methods for Mechanical Problems at Large Strains. Master Thesis. Division of Solid Mechanics, Lund University. 2007.
[32]    Won Young Yang, Wenwu Cao, Tae-Sang Chung, John Morris. Applied Numerical Methods Using Matlab. Wiley interscience. 2005
[33]    Xiong Zhang, Xin Liu, Ming-Wan Lu, Yong Chen. Imposition of essential boundary conditions by displacement constraint equations in meshless methods. Communications in Numerical Methods in Engineering. 2001; 17:165-178.
[34]    Y. Krongauzs, T. Belytschko. EFG Approximation with Discontinuous Derivatives. International Journal for Numerical Methods in Engineering.  1998.
[35]    Yolanda Vidal. Mesh-Free Methods for Dynamic Problems. Doctoral Thesis, University of Politecnica and catalunya, 2004.
[36]    Zienkiewicz and R.L. Taylor. The Finite Element method. Fifth edition published by Butterworth-Heinemann 2000