LUẬN VĂN PHƯƠNG PHÁP BIÊN NHÚNG CHO BÀI TOÁN CÓ BIÊN DẠNG PHỨC TẠP
NỘI DUNG ĐỒ ÁN
LUẬN VĂN PHƯƠNG PHÁP BIÊN NHÚNG CHO BÀI TOÁN CÓ BIÊN DẠNG PHỨC TẠP
BÀI BÁO PHƯƠNG PHÁP BIÊN NHÚNG CHO BÀI TOÁN CÓ BIÊN DẠNG PHỨC TẠP
Học viên cao học:
Dưới sự hướng dẫn khoa học:
ABSTRACK
The immersed boundary method is used wide in job compute kinematics and fuild dynamics, the fluid–structure interaction investigation and the thermodynamics maths.In this paper, the author applied the immersed boundary method to solve the maths flow through complex shape (airfoil) with the support of the Dirac delta function to interpolate boundary and they all give good results.
TÓM TẮT
Phương pháp biên nhúng được sử dụng rộng rãi trong việc tính toán động học và động lực học dòng chảy, khảo sát sự tương tác giữa lưu chất và kết cấu và các bài toán nhiệt động lực học lưu chất. Trong bài báo này tác giả ứng dụng phương pháp biên nhúng để giải bài toán dòng chảy qua biên dạng phức tạp (airfoil) với sự hỗ trợ của các hàm Dirac delta để nội suy biên nhúng và tất cả đều cho kết quả tốt.
GIỚI THIỆU
Trong khuôn khổ của đề tài nghiên cứu, tác giả đã trình bày cả phần cơ sở lý thuyết về phương pháp biên nhúng và kết quả được tính toán cho bài toán có biên dạng phức tạp bằng phần mềm matlab.
Kết quả của đề tài là cơ sở để chúng ta chọn hàm Dirac delta hỗ trợ cho phương pháp biên nhúng một cách tốt nhất. Nhằm làm phong phú cho phương pháp biên nhúng. Đồng thời là phương pháp có thể áp dụng để tính toán cho các bài toán có biên dạng phức tạp bất kỳ và các bài toán biên dạng chuyển động.
- TỔNG QUAN VỀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
- Cơ sở lý thuyết của phương pháp biên nhúng
Xét mô hình chất lỏng nhớt không nén trong miền Ω hai chiều có chứa một biên nhúng là một đường cong khép kín (Hình 1).
a) b)
Hình 1: a) Biểu đồ lưu chất – hệ thống biên nhúng. b) Rời rạc Eulerian (chấm sáng) và lưới Lagrangian (chấm đen)
Hình dạng của biên nhúng được cho bởi dạng tham số: , trong đó là chiều dài của đường cong , là vector chỉ tọa độ các điểm nút trên đường cong . Phương trình chuyển động của hệ được xác định như sau [2]:
(1)
(2)
Với x = (x,y) là tọa độ của lưu chất, u(x,t) = (u(x,t),v(x,t))là vận tốc lưu chất và p(x,t) là áp suất của lưu chất. Các hệ số ρ và μ là hệ số khối lượng riêng và hệ số nhớt của lưu chất. Lực vật thể tác dụng lên miền lưu chất là và được tính bằng công thức:
(3)
với là lực vật thể tại các điểm nút trên biên nhúng và là hàm Dirac delta. Chuyển động của biên nhúng được xác định bởi phương trình
(4)
Phương trình (3) và (4) biểu diễn tương tác giữa biên nhúng và lưu chất. Phương trình (3) thể hiện lực vật thể được áp lên miền lưu chất được tính từ lực trên biên nhúng. Trong khi đó, phương trình (4) thể hiện sự di chuyển của biên nhúng được tính từ vận tốc trên miền lưu chất. Trong cả hai phương trình (3) và (4) sự liên hệ giữa hai miền được thông qua hàm Dirac delta [1].
- Rời rạc theo không gian và thời gian
Phương pháp biên nhúng là sự kết hợp giữa hai mô tả Eulerian và mô tả Lagrangian trong việc tính toán tương tác giữa dòng lưu chất với vật thể. Một ví dụ đơn giản về việc thành
..............................
TÓM TẮT
Phương pháp biên nhúng được sử dụng rộng rãi trong việc tính toán động học và động lực học dòng chảy, khảo sát sự tương tác giữa lưu chất và kết cấu và các bài toán nhiệt động lực học lưu chất.
Đề tài đã được thực hiện từ tháng 02/2012 đến tháng 08/2012 tại Trường Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật TP. Hồ Chí Minh. Nội dung và phương pháp nghiên cứu của đề tài là nghiên cứu về phương pháp biên nhúng cho bài toán có biên dạng đơn giản và phức tạp.
Luận văn đã trình bày cả phần cơ sở lý thuyết về phương pháp biên nhúng và kết quả được tính toán cho bài toán có biên dạng đơn giản và phức tạp bằng phần mềm matlab.
Kết quả của đề tài là cơ sở để chúng ta chọn hàm Dirac delta hỗ trợ cho phương pháp biên nhúng một cách tốt nhất. Nhằm nâng cao kết quả tính toán và giảm thời gian tính toán đáp ứng được tính kinh tế. Đồng thời là phương pháp có thể áp dụng để tính toán cho các bài toán có biên dạng phức tạp bất kỳ.
PHẦN MỞ ĐẦU:
Lý do chọn đề tài
Mục đích, khách thể và đối tượng nghiên cứu
Giả thuyết nghiên cứu
Nhiệm vụ nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu
Tóm tắt các tính toán, thiết kế, khảo sát, thống kê, phân tích, so sánh… và đưa ra kết quả nghiên cứu, ý nghĩa khoa học và giá trị thực tiễn của đề tài.
KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ:
Kết luận phải nêu được những kết quả đạt được của luận văn, những đóng góp mang tính cải tiến, tính mới. Kết luận cần ngắn gọn, xúc tích, tránh dông dài.
Phần khuyến nghị liên quan đến luận văn: cần nêu cụ thể, rõ ràng, những tồn tại của đề tài và nêu ra các hướng phát triển tiếp theo của đề tài….
SUMMARY
The immersed boundary method is used wide in job compute kinematics and fuild dynamics, the fluid–structure interaction investigation and the thermodynamics maths.
Project was done from February, 2012 to October, 2012 at University of Technical Education Ho Chi Minh City.The content and methodology of the research including: studying theory the immersed boundary method for the simple and complex form boundary maths.
The thesis presented theory basic of the immersed boundary method and the result is computed for the simple and complex form boundary maths by software MATLAB.
Results of the research are the basic that we use to select Dirac delta functionsupport for the immersed boundary method one way best. The aim improve the computation result and reduce the computation time toán response economic Also is a method you can apply to compute for the simple and complex form boundary maths any.
MỤC LỤC
Trang tựa TRANG
Quyết định giao đề tài
Lý lịch khoa học. i
Lời cam đoan. iii
Cảm tạ. iv
Tóm tắtv
Summary. vi
Mục lục. Vii
Danh sách các bảng. x
Danh sách các hình. xi
Chương 1: GIỚI THIỆU.. 1
1.1 Giới thiệu chung. 1
1.2 Phương pháp biên nhúng:. 2
1.3 Nhiệm vụ của luận văn:. 3
Chương 2: TỔNG QUAN VỀ PHƯƠNG PHÁP BIÊN NHÚNG.. 5
Chương 3: PHƯƠNG PHÁP BIÊN NHÚNG CHO BIÊN CỨNG CỐ ĐỊNH.. 7
3.1 Phương trình động lượng:. 7
3.2 Phương pháp số:. 8
3.2.1 Rời rạc không gian và thời gian:8
3.2.2 Giải vật thể:9
3.2.2.1 Cấu trúc hàm Dirac delta 4 điểm hàm vô tỉ:10
3.2.2.2 Cấu trúc hàm Dirac delta 4 điểm hàm cosin:10
3.2.2.3 Cấu trúc hàm Dirac delta 4 điểm hàm sin. 10
3.2.2.4 Cấu trúc hàm Dirac delta 4 điểm hàm arcsin:10
3.2.2.5 Cấu trúc hàm Dirac delta hàm đa thức bậc 1. 11
3.2.2.6 Cấu trúc hàm Dirac delta hàm exp:11
3.2.2.7 Cấu trúc hàm Dirac delta hàm đa thức bậc 3:11
3.2.2.8 Cấu trúc hàm Dirac delta 6 điểm:11
3.2.3 Giải hệ phương trình Navier-stokes. 12
3.2.3.1 Xử lý phi tuyến độ nhớt và giới hạn mật độ lực. 12
3.2.3.2 Hiệu chỉnh áp suất13
3.2.3.3 Lưới so le. 14
3.2.3.4 Đạo hàm xấp xỉ14
3.2.3.5 Điều kiện biên:18
3.2.3.6 Phương trình Poisson:19
3.2.4 Biên cứng. 21
3.3 Navier-Stokes giải (xem phần 2.1.3 của chương 2). 22
Chương 4: CẤU TRÚC HÀM DIRAC DELTA.. 23
4.1 Cấu trúc hàm Dirac delta 4 điểm:. 23
4.2 Cấu trúc hàm Dirac delta 6 điểm:. 27
Chương 5: KẾT QUẢ TÍNH TOÁN.. 31
5.1 Số liệu tính toán và lập trình:. 31
5.1.1 Biên trụ tròn:31
5.1.2 Biên dạng phức tạp:33
5.2 Kết quả tính toán:. 35
5.2.1 Kết quả qua biên trụ tròn:35
5.2.1.1 Kết quả hàm Dirac delta 4 điểm hàm vô tỉ:36
5.2.1.2 Kết quả hàm Dirac delta 4 điểm hàm cosin:37
5.2.1.3 Kết quả hàm Dirac delta 4 điểm hàm sin:38
5.2.1.4 Kết quả hàm Dirac delta 4 điểm hàm arcsin. 39
5.2.1.5 Kết quả hàm Dirac delta 4 điểm hàm đa thức bậc 1:40
5.2.1.6 Kết quả hàm Dirac delta 4 điểm hàm exp:41
5.2.1.7 Kết quả hàm Dirac delta 4 điểm hàm đa thức bậc 3:42
5.2.1.8 Kết qủa hàm Dirac delta 6 điểm:43
5.2.2 Biên dạng phức tạp:44
5.2.2.1 Kết quả hàm Dirac delta 4 điểm hàm vô tỉ:44
5.2.2.2 Kết quả hàm Dirac delta 4 điểm hàm cosin:46
5.2.2.3 Kết quả hàm Dirac delta 4 điểm hàm sin:47
5.2.2.4 Kết quả hàm Dirac delta 4 điểm hàm arcsin:49
5.2.2.5 Kết quả hàm Dirac delta 4 điểm hàm đa thức bậc 1:51
5.2.2.6 Kết quả hàm Dirac delta 4 điểm hàm e:52
5.2.2.7 Kết quả hàm Dirac delta 4 điểm hàm đa thức bậc 3:54
5.2.2.8 Kết quả hàm Dirac delta 6 điểm:56
5.3 Nhận xét:. 58
5.3.1 Đối với biên trụ tròn. 58
5.3.2 Đối với biên dạng phức tạp (airfoil). 60
Chương 6: KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN.. 62
6.1 Kết luận. 62
6.2 Hướng phát triển:. 62
TÀI LIỆU THAM KHẢO.. 64
PHỤ LỤC.. 65
DANH MỤC SÁCHCÁC BẢNG
Bảng TRANGrang
Bảng 5.1: Các hệ số tính toán cho biên trụ tròn. 32
Bảng 5.2: Các hệ số tính toán cho biên phức tạp. 34
Bảng 5.3: Hệ số lực cản và hệ số lực nâng của biên trụ tròn. 58
Bảng 5.4: Số strouhal của biên trụ tròn. 59
Bảng 5.5: Kết quả hệ số lực cản CD và hệ số lực nâng CL. 60
Bảng 5.6: Số strouhal của biên dạng phức tạp. 61
DANH MỤC SÁCHCÁC HÌNH
Hình TRANG
Hình 2.1: Biểu diễn lưới chứa vật thể biên nhúng. 5
Hình 3.1: a) Biểu đồ lưu chất – hệ thống biên nhúng. B) rời rạc eulerian (chấm sáng) và lưới lagrangian (chấm đen).9
Hình 5.1: Kích thước tính toán của biên dạng airfoil.34
Hình 5.2: Đường dòng tại Re=40 của david russell [4]. 35
Hình 5.3: Đường dòng tại Re=40 của donna calhoun [5]. 35
Hình 5.4: Trái là đường dòng và phải là áp suất tại Re=40 của D. V. Le [6]. 36
Hình 5.5: Đường dòng tại Re=40 và Re=200. 36
Hình 5.6: Hình dạng xoáy tại Re = 200. 36
Hình 5.7: Áp suất cho biên trụ tròn tại Re=40 và Re=200. 36
Hình 5.8: Hệ số lực cản và hệ số lực nâng. 37
Hình 5.9: Đường dòng tại Re=40 và Re=200. 37
Hình 5.10: Hình dạng xoáy tại Re = 200. 37
Hình 5.11: Áp suất cho biên trụ tròn tại R=40 và Re=200. 37
Hình 5.12: Hệ số lực cản và hệ số lực nâng. 38
Hình 5.13: Đường dòng tại Re=40 và Re=200. 38
Hình 5.14: Hình dạng xoáy tại Re = 200. 38
Hình 5.15: Áp suất cho biên trụ tròn tại Re=40 và Re=200. 38
Hình 5.16: Hệ số lực cản và hệ số lực nâng. 39
Hình 5.17: Đường dòng tại Re=40 và Re=200. 39
Hình 5.18: Hình dạng xoáy tại Re = 200. 39
Hình 5.19: Áp suất cho biên trụ tròn tại Re=40 và Re=200. 39
Hình 5.20: Hệ số lực cản và hệ số lực nâng. 40
Hình 5.21: Đường dòng tại Re=40 và Re=200. 40
Hình 5.22: Hình dạng xoáy tại Re = 200. 40
Hình 5.23: Áp suất cho biên trụ tròn tại Re=40 và Re=200. 40
Hình 5.24: Hệ số lực cản và hệ số lực nâng. 41
Hình 5.25: Đường dòng tại Re=40 và Re=200. 41
Hình 5.26: Hình dạng xoáy tại Re = 200. 41
Hình 5.27: Áp suất cho biên trụ tròn tại Re=40 và Re=200. 41
Hình 5.28: Hệ số lực cản và hệ số lực nâng. 42
Hình 5.29: Đường dòng tại Re=40 và Re=200. 42
Hình 5.30: Hình dạng xoáy tại Re = 200. 42
Hình 5.31: Áp suất cho biên trụ tròn tại Re=40 và Re=200. 42
Hình 5.32: Hệ số lực cản và hệ số lực nâng. 43
Hình 5.33: Đường dòng tại re=40và Re=200. 43
Hình 5.34: Hình dạng xoáy tại Re = 200. 43
Hình 5.35: Áp suất cho biên trụ tròn tại Re=40 và Re=200. 43
Hình 5.36: Hệ số lực cản và hệ số lực nâng. 44
Hình 5.37: Dòng chảy qua biên dạng phức tạp. 44
Hình 5.38: Hình dạng xoáy tại Re = 200. 44
Hình 5.39: Áp suất cho biên dạng phức tạp. 45
Hình 5.40: Hệ số lực cản. 45
Hình 5.41: Hệ số lực nâng. 45
Hình 5.42: Dòng chảy qua biên dạng phức tap. 46
Hình 5.43: Hình dạng xoáy tại Re = 200. 46
Hình 5.44: Áp suất cho biên dạng phức tạp. 46
Hình 5.45: Hệ số lực cản. 47
Hình 5.46: Hệ số lực nâng. 47
Hình 5.47: Dòng chảy qua biên dạng phức tạp. 47
Hình 5.48: Hình dạng xoáy tại Re = 200. 48
Hình 5.49: Áp suất cho biện dạng phức tạp. 48
Hình 5.50: Hệ số lực cản. 48
Hình 5.51: Hệ số lực nâng. 49
Hình 5.52: Dòng chảy qua biên dạng phức tạp. 49
Hình 5.53: Hình dạng xoáy tại Re = 200. 49
Hình 5.54: Áp suất cho biên dạng phức tạp. 50
Hình 5.55: Hệ số lực cản. 50
Hình 5.56: Hệ số lực nâng. 50
Hình 5.57: Dòng chảy qua biên dạng phức tạp. 51
Hình 5.58: Hình dạng xoáy tại Re = 200. 51
Hình 5.59: Áp suất cho biên dạng phức tạp. 51
Hình 5.60: Hệ số lực cản. 52
Hình 5.61: Hệ số lực nâng. 52
Hình 5.62: Dòng chảy qua biên dạng phức tạp. 52
Hình 5.63: Hình dạng xoáy tại Re = 200. 53
Hình 5.64: Áp suất cho biên dạng phức tạp. 53
Hình 5.65: Hệ số lực cản. 53
Hình 5.66: Hệ số lực nâng. 54
Hình 5.67: Dòng chảy qua biên dạng phức tạp. 54
Hình 5.68: Hình dạng xoáy tại Re = 200. 54
Hình 5.69: Áp suất cho biên dạng phức tạp. 55
Hình 5.70: Hệ số lực cản. 55
Hình 5.71: Hệ số lực nâng. 55
Hình 5.72: Dòng chảy qua biên dạng phức tạp. 56
Hình 5.73: Hình dạng xoáy tại Re = 200. 56
Hình 5.74: Áp suất cho biên dạng phức tạp. 56
Hình 5.75: Hệ số lực cản. 57
Hình 5.76: Hệ số lực nâng. 57
Chương 1:
GIỚI THIỆU
1.1 Giới thiệu chung
Trước sự phát triển vượt bậc của máy tính điện tử cũng như ngành tin học, việc ứng dụng các phương pháp số dưới sự hỗ trợ của máy tính để giải quyết các bài toán cơ học trở nên phổ biến và cần thiết bởi những tính năng vượt trội của nó (giải quyết nhanh và cho kết quả chính xác). Vì vậy nhiều phương pháp tính số đã và đang phát triển mạnh mẽ và trở thành một công cụ hữu hiệu không thể thiếu được khi giải quyết các bài toán khoa học – kỹ thuật (phương pháp sai phân hữu hạn, phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp phần tử biên, các phương pháp không lưới, thể tích hữu hạn...).
Trong lĩnh vực tính toán động lực học lưu chất (Computational Fluid Dynamics-CFD) hay tương tác giữa lưu chất và kết cấu (Fluid-Structure Interaction-FSI) đã có sự tiến bộ đáng kể về phương pháp tính toán chính xác và hiệu quả đối với những hình dạng phức tạp bất kỳ hay biên di chuyển. Phương pháp biên nhúng (Immersed Boundary Methods - IBMs) gần đây đã được đưa ra để áp dụng đối với những dạng hình học phức tạp hay biên di chuyển trong khi yêu cầu tính toán ít hơn so với các phương pháp khác mà vẫn đảm bảo được sự chính xác. Những ưu điểm chính của IBMs là tạo lưới dễ hơn và không cần chia lưới lại khi vật thể thay đổi hay biên di chuyển.
IBMs lần đầu tiên được giới thiệu bởi Peskin (1972). Ứng dụng của IBMs là tập trung chủ yếu vào dòng chảy với sự di chuyển của các biên và mô phỏng dòng chảy xung quanh những vật thể có dạng hình học đơn giản và phức tạp.
Trong nghiên cứu này tác giả sử dụng phương pháp số là phương pháp biên nhúng (IBM) để khảo sát sự thay đổi của dòng chảy khi đi qua một biên dạng đơn giản (ống trụ tròn) và biên dạng phức tạp (airfoil). Tính toán và lập trình với sự hỗ trợ của phần mềm matlab.
1.21Phương pháp biên nhúng:
Việc tính toán cho các bài toán thực tế hiện nay đã có rất nhiều phương pháp được sử dụng và nói chung các phương pháp này đều phải sử dụng đến việc chia lưới. Tuy nhiên, đối với những bài toán mà hình dạng vật thể phức tạp thì việc chia lưới theo những cách thông thường sẽ tạo nên một sự khó khăn và một chí phí lớn cho quá trình tính toán.
Theo đó cần phải tìm ra một phương pháp mà việc chia lưới là đơn giản hơn để phân tích một cách có hiệu quả cho việc tính toán, và hiện nay nhiều nước và nhiều nhà khoa học trên thế giới đang nghiên cứu một phương pháp mà việc chia lưới rất là đơn giản bằng cách chia lưới trực tiếp trên các ô vuông của lưới Đề cátCartesian. Phương pháp đó có tên là “Phương pháp biên nhúng biên” (Immersed Boundary Method).
Phương pháp Immersed Boundary (IB) lần đầu tiên được sử dụng và phát triển bởi Peskin (1972) để nghiên cứu lưu lượng máu quanh van tim. Đặc trưng phân biệt của phương pháp này là toàn bộ việc mô phỏng được tiến hành trực tiếp trên lưới Đề cátCartesian, mà không phụ thuộc vào hình dạng của vật thể. Từ khi Peskin giới thiệu phương pháp này, thì nhiều phương thức tiếp cận về phương pháp này được đưa ra nghiên cứu và phát triển không ngừng. Có khá nhiều phương thức khác nhau sử phương pháp lưới Đề cátCartesian, mà phát triển ban đầu là việc mô phỏng dòng chảy không nhớt trên lưới Đề cátCartesian khi được nhúng vào một vật thể có hình dạng phức tạp (Berger & Aftosmis 1998, Clarkeet 1986, Zeeuw & Powell 1991). Các phương pháp này sau đó đã được mở rộng để mô phỏng dòng chảy nhớt tỉnh (Udaykumar 1996, Ye 1999). Về sau các ứng dụng của phương pháp này liên quan đến các bài toán chất lỏng tương tác chất lỏng hoặc chất lỏng tương tác với khí đã được phát triển bởi Andersone (1998) và Scardovelli & Zaleski (1999). Đối với phương pháp IB thì các công trình nghiên cứu trong nước vẫn chưa lớn mạnh và còn mang tính khởi đầu.
IBM đã được phát triển từ 1972 nên đã và đang có rất nhiều công trình nghiên cứu và bài báo về chúng. Trong nghiên cứu này tác giả dựa trực tiếp vào các bài báo khoa học quốc tế và một số tài liệu đã có về IBM để tìm hiểu và phát triển.
Sau khi nghiên cứu lý thuyết để tiện ích cho quá trình tính toán. Tác giả sử dụng sự trợ giúp của phần mềm Matlab để tính toán và lập trình..
IBM dường như làmột thách thức: mãIBMsđã được sử dụngđể mô phỏngdòng chảythông quacác thuộc địahìnhphức tạpsan hô, xung quanhxe ô tô, linh kiện điện tửvà các đối tượngrơi tự do.
1.32Nhiệm vụ của luận văn:
Các nội dung nghiên cứu chính trong luận văn:
- Vận dụng IBM tính toán mô phỏng động lực học tương tác giữa lưu chất và biên dạng đơn giản (ống trụ tròn) và phức tạp (biên dạng airfoil). Sử dụng ngôn ngữ lập trình Matlab tính toán và lập trình.
- Tính lực nâng, lực cản, áp suất, vận tốc và mô phỏng dòng chảy qua biên dạng đơn giản (biên trụ tròn) và biên dạng phức tạp (airfoil).
- Xác định mức độ ổn định của dòng chảy với biên dạng trụ tròn và biên dạng phức tạp (airfoil)phức tạp khi sử dụng các hàm Dirac delta 4 điểm và 6 điểm.
- Cuối cùng, tác giả sẽ đưa ra các kết luận về kết quả thực hiện. Nêu lên các vấn đề đã giải quyết được, các vấn đề còn tồn đọng chưa được giải quyết và đề xuất hướng phát triển của đề tài.
- Giới hạn của đề tài: Đề tài chỉ khảo sát sự thay đổi của dòng chảy khi đi qua biên dạng đơn giản (biên trụ tròn) và phức tạp biên dạng airfoil) với sự hỗ trợ của các hàm Dirac delta. Kiểm tra các hàm Dirac delta để đưa ra thêm một số hàm Dirac delta hỗ trợ cho phương pháp biên nhúng.
Chương 2:Tổng quan về IBM
Chương 3: IBMchobiêncứngcố định
Chương này tập trungvào các giải phápcủaphương trình Navier-Stokes, bằng cách thực hiệnrời rạctrongkhông gianvà thời gian,và tập trung vàomô phỏng dòng chảyxung quanhbiêncứng.
Chương 4:Xây dựng hàm Dirac delta 4 điểm và 6 điểm.
Chương nàynóivềviệc xây dựng cáchàm Diracdelta 4 điểm và 6 điểm sẽ được sử dụngtrongIBM.
Chương 5:Kết quảbằng số. Dòng
Dòng chảy qua biên trụ tròn. và dòng chảyquamộtbiên dạng phức tạp (biên dạng airfoil) là ví dụtrongluận án.
Chương 6: Kết luận và hướng phát triển.
Chương 2:
TỔNG QUAN VỀPHƯƠNG PHÁP BIÊN NHÚNG
IMMERSED BOUNDARY METHOD (IBM)
Phương pháp biên nhúng:
Phương pháp biên nhúng là phương pháp trong tính toán động lực học chất lỏng và tương tác giữa chất lỏng và chất rắn. Mô hình và mô phỏng hệ thống trong đó các cấu trúc đàn hồi (hoặc
màng) tương tác với dòng chảy chất lỏng Xử lý biên đàn hồi thay đổi dòng chảy của chất lỏng và đồng thời chất lỏng di chuyển làm biên đàn hồi biến dạng cấu trúc và dòng chảy chất lỏng, gây ra một số vấn đề thách thức đối với mô phỏng số. Phương pháp biên nhúng được thể hiện thông qua sự kết hợp giữa hệ lưới Eulerian(mô tả Eulerian) kết hợp với các cấu trúc trong hệ lưới Largangian (mô tả Largangian).
Hình 2.1: Biểu diễn lưới chứa vật thể biên nhúng
Phương pháp biên nhúng là xây dựng một bài toán và phương pháp giải quyết các vấn đề động lực học lưu chất. Trong phương pháp này, các phương trình động lực học chất lỏng được sử dụng, để mô tả không chỉ cho chất lỏng mà còn cho phần tử đàn hồi nhúngchất rắnmà nó tương tác với nó. Các phương trình chất lỏng được giải quyết trên một mạng lưới cố định thông qua mô tả Eulerian và các lực đàn hồi được tính toán từ một đại diệnlướidi động thông qua mô tả Larangiane của vật thể đàn hồi nhúng. Lưới vật thể di chuyển tự do thông qua các hệ thống lướivới lưới của miền chất lỏng. Hai thành phầnmô phỏng Eulerian/Largangiane được liên kết bởi một hàm Dirac delta. Chức năng của hàm này được sử dụng để áp dụng các lực đàn hồi chất lỏng và nội suy vận tốc chất lỏng ở các điểm lưới đại diện của vật thể đàn hồi.
Phương pháp IMB kết hợp cả công thức toán học và một chương trình số.Việc xây dựng toán học sử dụng một hỗn hợp của các biến Euler và Largange, có liên quan bởi các phương trình tương tác. Trong đó các chức năng của hàm Derac Delta đóng một vai trò nổi bật.
Lợi thế lớn của phương pháp này khi so sánh với các phương pháp số khác là để mô phỏng một vật thể nhúng cố định hoặc di chuyển, với bất kỳ hình dạng hình học bất kì:, sử dụng một mạng lưới Cartesian cố định.
Ưu điểm của phương pháp IBM là sử dụng phương pháp chia lưới giống như phương pháp sai phân hữu hạn (FDM) cho miền lỏng là chia lưới trên toàn miền hình học. Chia lưới trên toàn miền có lợi hơn các phương pháp khác là có thể chia lưới cho các vật có cấu trúc phức tạp.
Những ưu điểm chínhcủa IBM là tạo lưới dễ hơn và không cần chia lưới lại khi vật thể thay đổi hay biên di chuyển khi có sự tương tác giữa chất lỏng và chất rắn.
Chương 3:
PHƯƠNG PHÁP BIÊN NHÚNG CHO BIÊN CỨNGCỐ ĐỊNH
3.1 Phương trình động lượng:
Công thức toán được kết hợp giữa biến Eulerian và biến Lagrangiane. Biến Eulerian được xác định trên hệ tọa độ Cartesian cố định. Biến Lagrangiane được xác định trên một đường cong khép kín. Đường cong này di chuyển tự do qua hệ tọa độ Cartesian cố định. Các phương trình tương tác của chương trình số phụ thuộc hàm xấp xỉ Dirac delta. Chúng ta xét mô hình chất lỏng không nén được trong miền hai chiều có chứa một biên nhúng là một đường cong khép kín (Hình 3.1a). Hình dạng của biên nhúng được cho bởi tham số: . Trong đó là chiều dài của đường cong, và là hàm vector xác địnhchỉ vị trí các điểm nút trên đường cong với chiều dài s và thời gian t. Biên nhúng được đại diện bởi lựclực đơnF. L, lực này chuyển thành được kết hợp lại thành lực vật thể f trong hệ phương trình Navier-Stokes thông qua hàm Dirac delta. Khi đó hệ phương trình Navier-Stokes được giải để xác định vận tốc dòng chảy của miền lưu chất . Khi đó biên nhúng tương tác với dòng lưu chất, vận tốc của nó phải phù hợp với điều kiện biên không trượt. Phương trình động lượng của hệ thống được xác định như sau:
(3.1)
(3.2)
Với và , là vận tốc lưu chất và là áp suất của miền lưu chất. Các hệ số và là hằng số khối lượng riêng và độ nhớt của lưu chất. Lực vật thể tác dụng lên miền lưu chất là hay
(3.3)
Với là lực vật thể tại các điểm nút của biên nhúng và là hàm Dirac delta. Chuyển động của biên nhúng được xác định bởi
(3.4)
Phương trình (3.3) và (3.4) biểu diễn tương tác giữa biên nhúng và lưu chất. Trong phương trình (3.3) lực vật thể được áp dụng cho lưu chất giống như biên nhúng. Phương trình (3.4) thì biên nhúng được xác định bởi vận tốc miền lưu chất.
Hai tính chất then chốt mà chúng ta cần áp đặt là (chương 4)
(3.5)
(3.6)
Những tính chất này rất quan trọng giữ cho mọi giá trị thực X thay đổi không đơn thuần .
Lực vật thể được suy ra như sau
(3.7)
3.2 Phương pháp số:
3.2.1Rời rạc không gian và thời gian:
Phương pháp biên nhúng kết hợp Eulerian-Lagrangian bằng phương pháp sai phân hữu hạn tính toán cho tương tác giữa lưu chất và biên nhúng. Một ví dụ thiết lập 2D với một biên nhúng là một đường cong khép kín được biểu diễn trong hình 3.1b. Hai vấn đề của lưới tính toán: Một ô trung tâm lưới Cartesian cho biến Eulerian, và một tập hợp các điểm nút cho biến Lagrangian.
Cho miền lưu chất và
Lưới Eulerian với là khoảng cách lưới, và . Với uij biểu thị giá trị biến u tại điểm thứ ij. Chúng ta thiết lập điểm lưới Lagrangian (Biên nhúng được chia thành ). Với Fk là giá trị của biến F tại điểm lưới thứ k. Vị trí của điểm lưới thứ k Lagrangian là giá trị Xk. Chúng ta sử dụng biến phía trên để biểu diễn biến tại các bước thời gian; Như vậy và .
a) b)
Hình 3.1: a) Biểu đồ lưu chất – hệ thống biên nhúng. b) Rời rạc Eulerian (chấm sáng) và lưới Lagrangian (chấm đen).
3.2.2 Giải vật thể:
Lực vật thể được tính toán tại những điểm điều khiển. Sau đó lực này được trải rộng trên những điểm lưới Cartesian bởi hàm Dirac Delta.
(3.8)
Với là hàm hai chiều Dirac, delta.
(3.9)
Với là hàm liên tục được xây dựng trong chương 4 như sau:
3.2.2.1 Cấu trúc hàm Dirac delta 4 điểm hàm vô tỉ:
(3.10)
3.2.2.2 Cấu trúc hàm Dirac delta 4 điểm hàm cosin:
(3.11)
3.2.2.3 Cấu trúc hàm Dirac delta 4 điểm hàm sin
(3.12)
3.2.2.4 Cấu trúc hàm Dirac delta 4 điểm hàm arcsin:
(3.13)
3.2.2.5 Cấu trúc hàm Dirac delta hàm đa thức bậc 1
(3.14)
3.2.2.6 Cấu trúc hàm Dirac delta hàm exp:
(3.15)
a=3/4 và c được chọn sao cho
3.2.2.7 Cấu trúc hàm Dirac delta hàm đa thức bậc 3:
(3.16)
3.2.2.8 Cấu trúc hàm Dirac delta 6 điểm:
(3.17)
Hệ phương trình Navier–Stokes với các giới hạn lực khi đó được giải để tìm áp suất và trường vận tốc tại điểm lưới Cartesian sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn trong hệ thống lưới so le method [3]. Trường vận tốc được nội suy để tìm ra vận tốc tại điểm điều khiển.
(3.18)
3.2.3 Giải hệ phương trình Navier-stokes
Xét phương trình Navier-Stokes cho bài toán không nén được trong không gian hai chiều (hệ phương trình (3.1)-(3.2)) là
(3.19)
(3.20)
Chúng ta tìm lời giải tại bước thời gian bằng ba cách tiếp cận sau:
3.2.3.1 Xửlý phi tuyến độ nhớt và giới hạn mật độ lực
Chúng tôi sẽ phải hạn chế một bước thời gian tương ứng với rời rạc bình phương đặc biệt, vì vậy các điều kiện phi tuyến về độ nhớt được xử lý như sau.
(3.21)
3.2.3.2 Hiệu chỉnh áp suất
Chúng ta hiệu chỉnh trường vận tốc trung gian () bởi gradient áp suất để thực hiện tính không nén được
..................................
5.3.2 Đối với biên dạng phức tạp (airfoil)
a. Đường dòng:
Tất cả các hàm Dirac delta cho kết quả giống nhau.
Hình dạng xoáy:
Tất cả các hàm Dirac delta cho kết quả giống nhau.
ca. Hệ số lực cản và hệ số lực nâng:
|
Hệsố lực cản và hệsố lực nâng:Bảng 5.5: Kết quả hệ số lực cản CD và hệ số lực nâng CL |
||
|
Hàm Dirac delta |
Hệ số cản CD |
Hệ số lực nâng CL |
|
4 điểm hàm vô tỉ |
+0,176±0,01 |
-0,088±0,02 |
|
4 điểm hàm cosin |
+0,179±0,014 |
-0,08±0,021 |
|
4 điểm hàm sin |
+0,187±0,01 |
-0,085±0,025 |
|
4 điểm đa thức bậc 1 |
+0,181±0,008 |
-0,095±0,01 |
|
4 điểm hàm arcsin |
+0,190±0,01 |
-0,109±0,012 |
|
4 điểm hàm e |
+0,1700,01 |
-0,079±0,019 |
|
4 điểm hàm đa thức bậc 3 |
+0,165±0,085 |
-0,088±0,117 |
|
Hàm Dirac delta 6 điểm |
+0,177±0,004 |
-0,104±0,008 |
Căn cứ vào bảng giá trị hệ số lực cản và hệ số lực nâng ta nhận thấy:
Hệ số lực cản và hệ số lực nâng: Tất cả các hàm Dirac delta đều cho kết quả gần giống nhau độ chênh lệc giữa chúng rất thấp.
Căn cứ theo hình vẽ ta nhận thấy rằng: các hàm Dirac delta: hàm sin, hàm arcsin, hàm đa thức bậc 1, hàm exp, hàm 6 điểm cho kết quả tốt giống nhau. Đặc biệt là hàm Dirac delta 6 điểm cho kết quả tốt nhất. còn Còn các hàm còn lại cho kết quả không tốt hay hoặc không ổn định.
+ b Số Strouhal:
|
Bảng 5.6: Số strouhal của biên dạng phức tạp |
|
|
Hàm Dirac delta |
Số Strouhal |
|
4 điểm hàm vô tỉ |
1 |
|
4 điểm hàm cosin |
1 |
|
4 điểm hàm sin |
1 |
|
4 điểm đa thức bậc 1 |
1 |
|
4 điểm hàm arcsin |
1 |
|
4 điểm hàm exp |
0,071 |
|
4 điểm hàm đa thức bậc 3 |
0,0161 |
|
Hàm Dirac delta 6 điểm |
0,21 |
Kết luận: Đối với phương pháp IBM thì đã có nhiều công trình công bố và cho kết quả rất tốt với hàm Dirac delta 4 điểm hàm vô tỉ. Ở đây tác giả sẽ so sánh kết quả của hàm Dirac delta 6 điểm và các hàm Dirac delta 4 điểm với hàm Dirac delta 4 điểm hàm vô tỉ.
Đầu tiên đối vớibài toán biên dạng đơn giản (biên trụ tròn): hệ sốStrouhal thì kết quả giữa hàm Dirac delta 6 điểm và các hàm Dirac delta 4 điểm là giống và phù hợp nhau. Còn đối với hệ sốlực cản và lực nâng thì hàm Dirac delta 6 điểm chênh lệch chút ít so với các hàm Dirac delta 4 điểm.
Từ kết quả trên cho ta thấy khi sử dụng các hàm Dirac delta 4 điểm và 6 điểm là phù hợp khi dùng cho việc mô phỏng bài toán tương tác giữa chất lỏng và chất rắn bằng phương pháp IBM.
Đối với biên dạng airfoil kết quả giữa các hàm Dirac delta cũng tốt tương tự như biên trụ tròn. Hệ số Strouhal gấp 5 lần, hệ số lực cản và hệ số lực nâng kém hơn 8 lần so với biên trụ tròn.
Chương 6:
KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN
6.1 Kết luận
Với đề tài “Phương pháp biên nhúng cho bài toán có biên dạngKhảo sát hiệu quả của dòng chảy qua biên dạng phức tạp”. Tác giả đã thực hiện được các nội dung sau:
- Áp dụng phương pháp biên nhúng, để giải bài toán khảo sát hiệu quả của dòng chảy qua biên dạng đơn giản và phức tạp với sự hỗ trợ của các hàm Dirac delta khác nhau.
- Đưa ra được các hình ảnh về dòng chảy, áp suất giải thích cho hiệu quả của dòng chảy qua biên dạng phức tạp.
- Từ kết quả tính toán hệ số lực cản, hệ số lực nâng ta có những kết luận sau:
+ Hệ lực số cản
Hàm dirac delta 6 điểm cho kết quả tốt vì đạt trạng thái ổn định ở giây thứ 4. Còn các hàm Dirac delta 4 điểm cũng cho kết quả tốt đạt trạng thái ổn định ở giây thứ 5 hay thứ 6.
+ Hệ số lực nâng tương tự như hệ số lực cản.
6.2 Hướng phát triển:
Từ kết quả đạt được trong nghiên cứu này tác giả đề xuất một số hướng phát triển sau:
Mở rộng nghiên cứu ra những hàm Dirac delta 6 điểm cho hàm e, hàm sin, hàm cosin, hàm đa thức hoặc các hàm Dirac delta nhiều điểm hơn, hoặc tính toán cho biên di chuyển. Làm phong phú cho phương pháp biên nhúng, có thể dùng các hàm hỗ trợ Dirac delta trong quá trình tính toán.
Từ những ưu việt của phương pháp, vận dụng phương pháp biên nhúng vào việc nghiên cứu tương tác giữa lưu chất và những kết cấu kĩ thuật phức tạp khác.
Ứng dụng của đề tài nghiên cứu tính toán dòng chảy qua biên dạng airfoil chuyển động từ đó ứng dụng vào mô phỏng sinh học để chế tạo vây bơi cho robot cá, hay tính toán chế tạo tàu cánh ngầm…
